Pochodna Funkcji
– jest miarą szybkości zmian wartości funkcji względem zmian jej argumentów
– jest to funkcja (powstała z funkcji pierwotnej), która służy nam do badania funkcji pierwotnej
Ciągłość Funkcji
- funkcja jest ciągła w punkcie x_0 \in D jeżeli istnieje granica \lim_{x\to x_0} f(x) i \lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0)
Ps. Przydatne info:
- funkcja jest ciągła, jeżeli jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny
- każdy wielomian, funkcja wymierna, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczna jest ciągła
Pochodne Niektórych Funkcji:
c - to po prostu jakaś liczba
x - argument funkcji
f(x) = c f(x) = x f(x) = ax + b f(x) = \frac{1}{x} f(x) = ax^n
f'(x) = 0 f'(x) = 1 f'(x) = a f'(x) = \frac{-1}{x^2} f'(x) = anx^{(n-1)}
f(x) = c \;\; -> \;\; f'(x) = 0 f(x) = x \;\; -> \;\; f'(x) = 1 f(x) = ax+b \;\; -> \;\; f'(x) = a f(x) = \frac{1}{x} \;\; -> \;\; f'(x) = \frac{-1}{x^2} f(x) = ax^n \;\; -> \;\; f'(x) = anx^{(n-1)}
Pochodna Sumy, Różnicy, Iloczynu i Ilorazu Funkcji
Działanie:
f(x) = c * g(x) f(x) = g(x) + h(x) f(x) = g(x) - h(x) f(x) = g(x) * h(x) f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}
Pochodna Działania:
f'(x) = c * g'(x) f'(x) = g'(x) + h'(x) f'(x) = g'(x) - h'(x) f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x) f'(x) = \frac{g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)}{[h(x)]^2}
Monotoniczność Funkcji
Jest prosty schemat badania monotoniczności funkcji, jak ktoś ogarnia pochodne
- jeżeli f'(x) > 0 dla x \in (a;b) , to funkcja jest rosnąca w tym przedziale
- jeżeli f'(x) < 0 dla x \in (a;b) , to funkcja jest malejąca w tym przedziale
W przedziale (a;b) funkcja jest rosnąca.
W przedziale (b;c) funkcja jest malejąca.
Największa i Najmniejsza Wartość Funkcji
Musisz po prostu sprawdzić gdzie pochodna się zeruje.
- jeżeli wartości pochodnej zmieniają się w punkcie x z dodatnich "+" na ujemne "-", to funkcja osiąga w tym punkcie maksimum
- jeżeli wartości pochodnej zmieniają się w punkcie x z ujemnych "-" na dodatnie "+", to funkcja osiąga w tym punkcie minimum
Ekstrema Funkcji:
- w punkcie a funkcja osiąga minimum lokalne
- w punkcie b funkcja osiąga maksimum lokalne
- w punkcie c funkcja osiąga minimum lokalne
Jeżeli potrzebujesz ustalić największą i najmniejszą wartość funkcji, to musisz porównać wartości w ekstremach funkcji i na końcach przedziału.
Styczna Do Wykresu Funkcji
Jeżeli prosta y = ax+b jest styczna do wykresu funkcji w punkcie (x_0;f(x_0)) , to a = f'(x_0) = \tg{B}
Oznaczenie Pochodnej
Ultra przydatne na studiach
f'(x) = \frac{d \; f(x)}{dx} = \frac{dy}{dx}
