Rachunek Prawdopodobieństwa
– służy do obliczania szansy zajścia pewnego zdarzenia
– powstał po to żeby oszacować szanse na wygraną w grach hazardowych.
Zasada jest taka:
Jeżeli prawdopodobieństwo zwycięstwa pomnożone przez zysk jest większe od prawdopodobieństwa przegranej pomnożonego przez stratę, to po dużej ilości prób będziemy bogaci.
Przykładowo
Jeżeli zyskasz 10 zł za wyrzucenie kostką 1,2,3,4 lub 5 a stracisz 70 zł jeśli wypadnie 6, to lepiej odpuść sobie taką gre...
Reguła dodawania i mnożenia w skrócie
Głównie tych reguł używa się przy liczeniu ilości zdarzeń sprzyjających naszej wygranej.
Wytłumaczę na przykładzie:
Oblicz prawdopodobieństwo wypadnięcia 4 lub 5 w dwóch rzutach sześciościenną kostką.
1) Zapisujemy wszystkie możliwe wyniki w pierwszym i drugim rzucie. Jest ich 36 bo w pierwszym rzucie może wypaść 1,2,3,4,5,6 a w drugim tyle sami (6) możliwości.
Zatem:
\Omega = 6*6 = 36
(Reguła mnożenia)
2) Liczysz ile zdarzeń sprzyja wyrzuceniu 4 lub 5 w dwóch rzutach:
W pierwszym rzucie może wypaść albo 4 albo 5 (jak wypadnie 1,2,3,6 to z automatu odpadamy)
W drugim rzucie mamy tylko jedną możliwość
- jeśli w pierwszym wypadła 4 to teraz musi być 5
- jeśli w drugim wypadło 5 to teraz musi być 4
Mamy więc:
A = 1*1 + 1*1 = 2
Możliwości
(Reguła dodawania i mnożenia)
Liczysz prawdopodobieństwo zdarzenia A
P_{(A)} = \frac{2}{36}= \frac{1}{13}
Podsumowując:
Reguła Mnożenia - mnożymy ilość możliwości w kolejnych etapach doświadczenia/rzucania kośćmi
Reguła Dodawania - dodajemy do siebie kolejne etapy doświadczenia w zależności co liczymy
Silnia - czyli taki wykrzyknik
Oznaczenie: !
O co chodzi....
Jeżeli liczysz silnie z jakiejś liczby, to musisz wymnożyć wszystkie liczby naturalne, aż dojdziesz do tej liczby.
Przykładowo:
6! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = 720
3! = 1 * 2 * 3 = 6
n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n
Symbol Newtona
Oznaczenie:
\binom{n}{k}
Jak coś to czytamy n po k
O co chodzi....
Jest to wzorek służący do policzenia ile jest możliwych sposobów wybrania k elementów z n elementowego zbioru
Wzorek
\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
Przykładowo:
Na ile sposobów możesz wybrać 2 osoby z klasy w której jest 24 osób
\binom{24}{2} = \frac{24!}{2!(24-2)!} =
Tutaj taki mały patent... Skoro 24! to 24*23*22*21*...*1, to równie dobrze można to zapisać tak:
24! = 24 * 23 * 22!
i teraz skracamy 22! i 22!
= \frac{24*23*22!}{2!(22)!} = \frac{24*23}{2} = = 12*23 = 276
= \frac{24*23*22!}{2!(22)!} = \frac{24*23}{2} = 12*23 = 276
Wariacja z powtórzeniami
Czyli jak np. chcesz policzyć ile jest możliwych wyników przy rzucie 5 razy kostką - kostka nie traci swoich oczek po rzucie...
Wzorek:
W^k_n = n^k
n - ilość możliwości
k - ilość prób
Przykład
Ile jest możliwych wyników w 5 rzutach kostką
6^5 = 6*6*6*6*6 = 7776
Tak na prawdę to taka reguła mnożenia ....
Wariacja bez powtórzeń
Czyli jak np. chcesz policzyć ile jest możliwych wyników przy rzucie 3 razy kostką, ale nie może wypaść ta sama liczba
Wzorek:
V^k_n = \frac{n!}{(n-k)!}
Przykład
Ile jest możliwych wyników przy rzucie 3 razy kostką, ale nie może wypaść ta sama liczba
1) Opcja dla leniwych(ale tylko w tym przykładzie...)
6*5*4 = 120
W pierwszym rzucie mamy 6 możliwości, w następnym 5(bo ta cyfra która się wylosowała, już nie może się powtórzyć) i w ostatnim 4(bo wywalamy poprzednie 2 wyniki)
\frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6*5*4*3!}{3!} = = 6*5*4 = 120
\frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6*5*4*3!}{3!} = 6*5*4 = 120
Klasyczna Definicja Prawdopodobieństwa
\Omega - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych(możliwych przypadków)
A - zbiór zdarzeń sprzyjających
\overline{\overline{A}} - to oznaczenie mocy zbioru A
I teraz... prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A wynosi:
P_{(A)} = \frac{ \overline{\overline{A}} }{ \overline{\overline{\Omega}} }
Aksjomaty
- definicja z którą się nie dyskutuje, tylko przyjmuje za pewnik
- podstawowe pojęcia - na nich budowane są kolejne i tak się ta matma rozrasta...
Własności Prawdopodobieństwa
0 \leq P_{(A)} \leq 1
A' - zdarzenie przeciwne do A
(np. Jeśli A oznacza szanse wylosowania jabłka to A' oznacza szansę wylosowania wszystkiego poza jabłkiem)
P_{(A)} + P_{(A')} = 1
P_{(A \cup B)} = P_{(A)} + P_{(B)} - P_{(A \cap B)}
Prawdopodobieństwa Warunkowe
Da się zapisać jako drzewko...
Prawdopodobieństwo zajścia A, pod warunkiem, że wcześniej zaszło B
P_{(A|B)} = \frac{ P_{(A \cap B)} }{P_{(B)}}
Statystyka
Średnia arytmetyczna
\frac{a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + ... + a_{(n-1)} + a_n }{n}
Średnia ważona
\frac{w_1 a_1 + w_2 a_2 + w_3 a_3 + ... + w_{(n-1)}a_{(n-1)} + w_n a_n }{w_1+w_2+w_3+...+w_n}